Antwort: Gehen wir mal von folgender ungeordneter Menge aus:

Diese Menge kann man nach verschiedenen Kriterien sortieren (d.h. Klassen bilden). So kann man die Objekte beispielsweise nach der Farbe sortieren. Diesem Vorgang liegt die Äquivalenzrelation "hat dieselbe Farbe wie" zu grunde. Es werden alle Objekte miteinander in eine Klasse gepackt (z. B. die Klasse "rot"), welche in Relation zueinander stehen. Also: wenn gilt "Objekt x hat dieselbe Farbe wie Objekt y", dann landen sie in derselben Klasse, ansonsten nicht. Ebenso kann man die Äquivalenzrelationen "hat dieselbe Form wie" (mit den Kategorien "Kreis" und "Quadrat") oder "hat dieselbe Größe wie" (mit den Kategorien "klein" und "groß") verwenden, und die Objekte werden eben danach sortiert.

Nun kann man auf die Idee kommen, die Äquivalenzrelationen nacheinander "anzuwenden". D.h. man kategoriert die Objekte erst mal nach der Form. Anschließend werden die beiden entstandenen Klassen für sich alleine betrachtet (!) und nach z.B. mit Hilfe der Äquivalenzrelation "hat dieselbe Größe wie" nochmals aufgeteilt, und wenn man will, nochmal nach der Farbe. Dies ist für einen "Ast" im folgenden Bild dargestellt (die anderen Äste bitte selbst ergänzen oder dazudenken):

Wo sehe ich jetzt im Baum die Äquivalenzrelationen? Im Prinzip sind sie immer dort enthalten, wo ein Knoten im Baum auf mehrere Unterknoten "aufgeteilt" wird. Dort kommt nämlich eine Äquivalenzrelation zur Anwendung. Im linken, dargestellten Ast des Baums wurden nacheinander drei Äquivalenzrelationen "angewendet", um die Objektmengen immer weiter zu unterteilen: "hat dieselbe Form wie" bei der ersten Aufsplittung, "hat dieselbe Größe wie" bei der zweiten Aufsplittung und "hat dieselbe Farbe wie" bei der dritten Aufsplittung.

Soviel zur Äquivalenzrelation. Wie sieht's mit der Ordnungrelation aus?

Währen die Äquivalenzrelationen Relationen auf den einzelnen Objekten sind (die dadurch zu Klassen zusammengefasst werden), ist die Ordnungrelation "ist Unterklasse von" eine Relation auf den Klassen (Ordnungsrelation ist eigentlich ein ungenauer Begriff, da es verschiedene Arten von Ordnungsrelationen gibt; in unserem Fall ist's die Halbordnung). Diese "sieht" man, wenn man von einer Klasse aus (beispielsweise der mit den grünen kleinen Kreisen) nach oben zur Wurzel des Baums schreitet: Die Klasse mit den grünen kleinen Kreisen ist Unterklasse von der Klasse mit den kleinen Kreisen, und diese ist wiederum Unterklasse von der Klasse der Kreise. Die Ordnungsrelation "ist Unterklasse von" ist dabei vollkommen unabhängig von den klassifizierten Objekten und von den Kategorien - sie lautet bei allen Klassifikationen gleich.

Hier die erste Frage:

Was ist der Unterschied zwischen Kategorisieren und Klassifizieren? Oder kann man beide Begriffe synonym verwenden?

Diese Frage beantwortet der Wikipedia-Artikel über Kategorisierung sehr schön: Kategorisierung und Klassifizierung bedeuten im Grunde genommen dasselbe, „Klassifizierung“ bezieht sich jedoch auf mathematische oder technische Prozesse oder Strukturen, „Kategorisierung“ auf Psychologie und Bedeutung.

Ich würde auch sagen, dass Kategorisierung eher ein psychologischer Begriff ist (Lernen von Konzepten und Denken in Konzepten). Klassifizierung ist eher ein mathematischer Begriff (Zuordnung von Objekten zu Klassen). Aber vermutlich gibt es auch andere Definitionen und Bedeutungen dieser Begriffe. Vielleicht kann hierzu an dieser Stelle eine Diskussion entstehen?

Viel öfter kategorisieren wir aber unbewusst. Wenn wir Objekte sehen, dann verbinden wir sie mit entsprechenden Konzepten (auch Begriffen), die wir als Abstraktion dieser Objekte mit der Zeit gelernt haben. So sehen wir ein Objekt mit vier Beinen und einem wedelnden Schwanz und kategorieren es als HUND. Oder als KUH, je nachdem, ob es bellt oder muht.

Mathematisch gesehen ist Kategorisieren eine Funktion, die ein Objekt einer Kategorie zuordnet. Die Kategorien (oder Klassen) werden dabei über eine Äquivalenzrelation spezifiziert. So kann man beispielsweise eine Menge von Gummibärchen nach der Farbe sortieren. Die Äquivalenzrelation lautet in diesem Fall "... hat die gleiche Farbe wie ...". Die Gummibärchen werden hierdurch in unterschiedliche Äquivalenzklassen eingeteilt, die disjunkt sind. Das heißt, jedes Gummibärchen landet in genau einer Klasse (und nicht etwa in zwei; die zweifarbigen natürlich ausgenommen).

Im Alltag sind Kategorien leider oft nicht disjunkt. Zurück zum Abfallbeispiel: Wie oft fragt man sich, ob das mit Cheeseburgerresten versehene Verpackungspapier nun Papiermüll oder Restmüll ist. Ganz übel wird's, wenn selbst die Kategoriennamen ohne Sinn sind. Beispiel Ludwigsburger Abfallsystem: Hier gibt es die Kategorien Müll rund und Müll flach. Wer um alles in der Welt hat sich eigentlich diese Konzepte ausgedacht? Was ist denn mit flachen, runden Dingen? Und mit quaderförmigen? Weshalb man hier Adjektive genommen hat, die nicht mal Gegensätze darstellen, wird wohl für immer ein Rätsel bleiben. Und die Kategorien muss man mühsam lernen. So z.B. die Tatsache, dass Styroporformteile flach sind, selbst wenn sie es nicht sind. Und dass Tablettenverpackungen rund sind bzw. sein sollten. Naja: Was nicht passt, wird passend gemacht. Kennt jemand noch ähnliche, fragwürdige Kategorien?

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Ein schönes Beispiel für den Unterschied zwischen konstruierten und realweltlichen Situationen können die Fibonacci-Zahlen liefern (die mittlerweile jedem im Buch oder Film "Sakrileg" begegnet sein dürften). Die ursprüngliche Aufgabe von Fibonacci, bei der es um die "Vervielfältigung" von Hasen ging und die man sehr schön im Text von Johannes Becker nachlesen kann, ist recht konstruiert. Beispielsweise scheinen hier Hasen in einem starren monatlichen Rhythmus zu ticken und dabei auch noch unsterblich zu sein. (Ok, man kann darüber streiten, inwieweit es sich dabei um Modellannahmen handelt. Aber trotzdem - die Situation wirkt konstruiert, wie so oft bei Textaufgaben.)

Darüber hinaus gibt es aber sehr schöne, echte "Vorkommen" der Fibonacci-Zahlen in der Natur. So beschreibt Markus Kuhn in seinem Text u. a. den Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Stammbaum einer Drohne. Außerdem sind die Anzahlen auf den Samenspiralen der Sonnenblumen benachbarte Fibonacci-Zahlen.

Es gibt sicher noch unendlich viel mehr Beispiele für Fibonacci-Zahlen in der Natur. Vielleicht kennt jemand ein Beispiel und möchte einen Kommentar hinterlassen? Ich würde mich freuen!